Способ 2: сведение к системе в форме Коши
Рассмотрим более привычный и распространённый способ численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка: сведение к системе из n уравнений 1-го порядка, или, как ещё говорят, к нормальной форме или форме Коши.
Решение систем ОДУ без использования визульных блоков, было рассмотрено ранее в материале.
Рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка с заданными начальными условиями:
Введём замену переменных, сводящих уравнение (1) к системе из двух уравнений первой степени:
получим систему в новых фазовых переменных
Данную систему нам и необходимо замоделировать. Итак, разберём, какие из функциональных бликов Xcos понадобятся, чтобы найти решение задачи Коши системы из двух дифференциальных уравнений 1-ой степени (2) с начальными условиями (3).
Система (2) содержит два д.у. первого порядка, а значит нам понадобятся два блока интегратора. Здесь и в дальнейшем для моделирования дифференциальных уравнений, вместо INTEGRAL_f, будем использовать блок
с палитры «Системы с непрерывным временем». Смысловая нагрузка у блока INTEGRAL_m та же, что и у используемого ранее INTEGRAL_f, - поиск первообразной сигнала, подающегося на его вход. Однако блок INTEGRAL_m во-первых, более нагляден, а во-вторых, имеет большее количество настраиваемых внутренних параметров блока.
Итак, приступим к сбору функциональной блок-схемы, реализующей поиск численного решения системы дифференциальных уравнений (2), удовлетворяющего начальным условиям (3). Для создания блок-схемы нам потребуется:
- Добавить два блока INTEGRAL_m на рабочую область, дав им названия соответствующих фазовых переменных и задать во внутренних параметрах блоков INTEGRAL_m значения параметра Initial condition (начальные условия), указанные в (7б). Результатом данных действий будет схема, изображенная на рис.38;
- Собирать уравнения системы (2) необходимо, начиная с последнего и двигаясь вверх. Второе уравнение системы (2) имеет вид
и представляет собой сумму двух слагаемых с разными знаками, первое из которых увеличено в 2 раза, а второе в 0.3 раз. Поэтому нам потребуется добавить блок сумматора BIGSOM_f, во внутренних параметрах которого указан знаков слагаемых [-1;1] и блоки усилителя GAINBLK_f со значениями 2 и 0.3 соответственно. Далее необходимо составить правую част рассматриваемого уравнения, то есть подать на вход BIGSOM_f, советующие слагаемые, как показано на рис. 39. - Итак, мы получили в сумматоре выражение, которые необходимо проинтегрировать, то есть подать на вход блока-интегратора INTEGRAL_m, соответствующего фазовой переменной, производная которой стоит в левой части рассматриваемого уравнения. В уравнении
слева стоит , а значит, выход сумматора нужно подсоединить ко входу интегратора, отвечающего за переменную (см. рис. 40). - Перейдём к построению первого уравнения системы (2), имеющего вид
. Фазовая переменная формируется как выход соответствующего блока интегратора. Распараллелим выход нижнего блока INTEGRAL_m, подав его на вход верхнего блока INTEGRAL_m, который соответствует фазовой переменной . В результате получим схему, изображенную на рисунке 41. - Далее нам потребуется вывести графики фазовых переменных
, для этого добавьте блоки CMSCOPE, END и CLOCK_c на рабочую область. - По традиции, во внутренних параметрах блока END указать время 10 сек., на функциональный вход блока CMSCOPE нужно подать выход блока CLOCK_c с параметрами Period = 0.1, Время инициализации=0, а на регулярные входы осциллографа подать распараллеленные интегральные выходы, соответствующие фазовым переменным (рис. 42).
- После запуска моделирования и настройки параметров осциллографа, получим графики (рис. 43).
Рисунок 38. Блоки интеграторов с заданными начальными условиями
Рисунок 39. Блок-схема правой части второго диф.уравнения системы (2)
Рисунок 40. Вывод выхода сумматора на вход интегратора
Рисунок 41. Блок-схема замкнутой системы двух д.у. 1-ой степени (2)
Рисунок 42. Блок-схема поиска численного задачи Коши (2-3) с выводом графиков фазовых переменных
Рисунок 43. Графическое решение задачи Коши (2-3)
Итак, основными принципами второго способа численного интегрирования дифференциальных уравнений порядка выше 1 являются:
- Сведение дифференциального уравнения n-ой к системе из n уравнений 1-ой степени, путём замены переменных;
- Движение снизу вверх при визуализации уравнений получившейся системы;
- Параллельное включение в схему блоков INTEGRAL_m, отвечающих за фазовые переменные системы;
- Отображение результата численного моделирования на системах координат фазовая переменная – время;
- Задание начальных условий в соответствующих блоках-интеграторах;
- Задание отрезка интегрирования во внутренних параметрах блока END, начальной точки и шага дискретизации в блоке CLOCK_c;
- Возможность выбора численного метода поиска решения дифференциального уравнения в настройкам параметров интегрирования.
