Матричные уравнения в Scilab Xcos

Ранее были рассмотрены несколько подходов к визуальному моделированию динамических систем, а именно:

• в виде последовательного интегрирования,
• в виде системы дифференциальных уравнений,
• и через передаточную функцию AWXINLINEMATHTOKEN0X.

В данном материале будет рассмотрен подход к построению блок-схемы динамических систем, которые описываются матричными уравнениями. В связи с тем, что Scilab разрабатывается, как матрично-ориентированное программное обеспечение, представление динамических систем именно в матричном, а не покоординатном виде – есть наиболее оптимальный способ решения поставленных задач, потому что сам инструмент под это заточен, да и использование матриц и векторов позволяет избежать некоторых ошибок, которые бы имели место быть при их реализации с использованием других подходов.

Немного теории

В современной теории управления далеко не редкость - представление динамических систем в виде пространства состояний, так как это позволяет избежать ограничений, накладываемых на передаточные функции, использование которых присуще классическому подходу для решения задач управления.

Модель системы, построенная в пространстве состояний предполагает использование ОДУ первого порядка. Если же для описания процесса функционирования рассматриваемой системы требуется использование дифференциальных уравнений порядка выше 1, каждое из таких уравнений сводится в совокупности ОДУ первого порядка, что всегда возможно, как было сделлано с помощью пользовательских функций Scilab и блоков Xcos.

При этом, переменные, которые используются для составления дифференциальных уравнений, называются фазовыми координатами и полностью описывают динамическую систему и её реакцию на определённые входные данные. Число фазовых переменных равняется порядку ОДУ, описывающему динамическую систему. Кроме того, фазовые переменные – это как раз те переменные, для которых задаются начальные условия, число которых, как известно, также, совпадает со степенью исходного ОДУ.

Модель пространства состояний формируется из уравнений входа и выхода, где для случая управляемой линейной системы из переменных состояния, имеющей входов и выходов, матричные уравнения имеют вид:

- вектор состояния, элементы которого называются состояниями системы,
- вектор выхода,
- вектор управления,
- матрица системы,
- матрица управления,
- матрица выхода,
- матрица прямой связи.

Структурная схема описанной системы представлена на рис. 89.

Рисунок 89. Структурная схема непрерывной линейной динамической системы (1)

Управление грузом на пружине с демпфером

Разобравшись с терминологией, перейдём к примерам. Рассмотрим груз массы с закреплённой пружиной жёсткости и демпфером с коэффициентом демпфирования , движение которого осуществляется при помощи силы (см. рис. 90)

Рисунок 90. Передвигаемый груз с пружиной и демпфером

Уравнения движения описанного груза имеют вид:

В принципе, уравнения (2) уже достаточно, чтобы собрать его блок-схему с использованием подходов, рассмотренных ранее. Однако наша цель – матрицы, которые на данном этапе не видны.

Прежде всего, определим, степень рассматриваемого уравнения. Наибольшая производная, фигурирующая в (2) – второго порядка, стало быть, перед нами ОДУ 2-го порядка.

В статье рассматривался способ решения подобного дифференциального уравнения, путём сведения его к системе. Этот подход и лежит в основе представления динамической системы в пространстве состояний. Вспомним, что мы делали:

• переписывали уравнения так, чтобы слева от знака равно осталась наивысшая производная,
• делали замену и получали систему.
  Приступим. Преобразуем (2) к желаемому виду:

Вопрос, сколько получится ОДУ первой степени из ОДУ 2-й степени? Правильно, два. Вторая степень уравнения, - два уравнения в системе. А как получить эти два уравнения? Правильно, ввести переменные состояния. Вторая степень уравнения – две переменных состояния. Введём замену:

Итак, исходно обыкновенное дифференциальное уравнение второй степени (2), путём замены (4) сводится к системе из двух ОДУ первой степени:

На первый раз, раскроем скобки в (5) и запишем фазовые переменные друг под другом:

Запишем систему (5) в матричной форме:

Теперь, мы с лёгкостью можем определить матрицу состояний:

и матрицу управления:

Для определения выходного вектора и матриц , нужно обозначить величину, измеряемую на выходе. Допустим, мы хотим измерять положение груза, следовательно, выходное уравнение будет иметь вид:

соответственно, в матричной форме:

В итоге, получим следующую динамическую модель движущегося груза в пространстве состояний:

Последний штрих, перед тем, как перейти к визуальному моделированию указать начальные условия для системы (7). Напомним, число н.у.=числу переменных состояния=порядку исходного ДУ. Мы рассматриваем уравнение второго порядка, следовательно, необходимо задать два начальных условия для каждой из фазовых переменных:

Перейдём к построению блок-схемы тележки с демпфером в Xcos

1. Для задания динамической системы в формате (7) используется блок

с вкладки «Системы с непрерывным временем». Во внутренних параметрах данного блока нужно в Scilab-формате задания матриц и векторов, записать соответствующие матрицы. Мы не будем прибегать к непосредственной записи матриц в блоке, а зададим их в контексте, чтобы в дальнейшем в параметрах блока CLSS использовать только соответствующие переменные.

2. Откройте на редактирование контекст рабочей области и задайте матрицы и вектора, используемые в системе (7), особое внимание стоит уделить форме задания строки :

A = [0 1; -k/m -c/m];
B = [0; 1/m];
C = [1; 0]';
D = 0;

Векторно-матричные элементы системы (7) в контексте Xcos

3. Далее в контексте необходимо задать начальные условия в виде вектор-строки:

Z0 = [0 0];

Задание начальных условий в контексте Xcos

4. И указать параметры системы:

m = 2; c = 1; k = 2;

Задаём переменные в контексте Xcos

5. После чего, необходимо сохранить контекст и заполнить поля внутренних параметрах блока CLSS, как показано на рис. 91.

Рисунок 91. Задание внутренних параметров блока CLSS с помощью переменных из контекста

6. Для дальнейшего построения блок-схемы потребуются 4 блока: CLOCK_c, END, CSCOPE и блок

, который находится на палитре «Источники сигналов и воздействий». Блоки необходимо связать между собой соединительными линиями, как показано на рис. 92, настроить параметры осциллографа и запустить моделирование на 22с.

Рисунок 92. Блок-схема системы (7)

В результате моделирования на экране появится график затухающих синусоидальных колебаний, соответствующий переменной , то есть, координате передвигаемого груза (рис. 93).

Рисунок 93. Траектория выхода (координата груза) системы (7)

Блок STEP_FUNCTION функционирует согласно правилу:

где - параметры, которые задаются во внутренних параметрах блока STEP_FUNCTION следующим образом:

• - это параметр Start Time,
• - это параметр Initial Value,
• - это параметр Final Value.

В нашем случае, параметры у блока STEP_FUNCTION остались выставленные по умолчанию, поэтому, он на протяжении 1сек. подаёт на выход значение «0», а в последующие моменты времени – значение «1», что прослеживается на графике (рис. 93).

Выводим график скорости груза

После запуска моделирования возникает справедливый вопрос, а почему переменная только одна и как же вывести фазовый портрет системы?

Прежде всего, отметим, что на выход блока CLSS подаётся переменная , которая формируется, как выход системы (7). Обратимся к системе (7) и её уравнению выхода

где не обнуляется только фазовая переменная , соответствующая переменной выхода с координатой . Становится понятно, что, собственно, хотели получить на выходе - то и получили – переменную состояния , которая отвечает за положение груза . Но мы сами настроили выход таким образом, а значит, его можно изменить.

Если бы нам потребовалось, например, построить график скорости груза, а скорость, -это, как известно – , то и в уравнении выхода нужно было бы обращаться к фазовой переменной , отвечающей за скорость. Следовательно, уравнение выхода в системе (7) для случая вывода скорости грузу, преобразуется к виду

или сокращённо:

Отредактировав вектор в контексте, запустите моделирование, результатом которого будет график, изображённый на рис. 94.

Рисунок 94. График скорости груза системы (7)

Строим траектории фазовых переменных системы в Xcos

Рассмотрим теперь задачу вывода нескольких переменных состояния и построения траектории на фазовой плоскости.

Обратимся к ранее составленным уравнениям выхода. В первом случае матричное уравнение

подаёт на выход фазовую переменную , потому что только элемент матрицы выхода не обнуляется.

Соответственно для вывода фазовой переменной справедливо уравнение

где ненулевым оказывается элемент

Теперь, если обобщить полученную информацию, можно сделать вывод, что для вывода переменной состояния , в матрице выхода должна стоять «1» на месте . Соответственно, для передачи на выход обеих переменных состояния рассматриваемой двумерной системы (7), матрица преобразуется в единичную матрицу размера 2х2, при этом, размерность вектора становится равной количеству выводимых переменных, т.е. «2».

Таким образом, линейная динамическая система в пространстве состояний, описывающая движение груза с пружиной и демпфером, подающая на выход обе фазовых переменных, примет вид:

Для моделирования системы (8), прежде всего, в контексте нужно изменить строку, где задаётся матрица выхода:

C = eye(2,2);

Задание единичной матрицы Scilab

После чего необходимо заменить одномерный осциллограф на блок CMSCOPE, размерность входа которого нужно исправить на 2. На рис.95а) приведена блок-схема с векторным осциллографом, а на рис. 95 б) – результат моделирования системы (8).

Рисунок 95а. Блок-схема динамической системы в Xcos

Рисунок 95б. Графики фазовых координат на одной сестеме координат в Xcos

Строим графики динамической системы на разных координатных сетках в Xcos

А что, если в ходе моделирования потребуется построить графики переменных состояния на отдельных системах координат?

В этом случае потребуется воспользоваться блоком

, который располагается на палитре «Маршрутизация сигналов». Данный блок разделяет входной поток на отдельные составляющие. В нашем случае на вход блока DEMUX попадает вектор условной размерности 2, который на выходе превращается в отдельные вектора фазовых выходных переменных и . Использования блока расщепления DEMUX представлено на рис. 96.

Рисунок 96. Xcos-схема динамической системы с выводом трёх систем координат

Результат моделирования и внутренние параметры блока CMSCOPE представлены на рис. 97а-б).

Рисунок 97а. Настройки внутренних параметров блока CMSCOPE

Рисунок 97б. Исходный сигнал и разделённый на 2 компоненты

Продолжим модернизировать созданную блок-схему и на следующем шаге откажемся от осциллографа, заменив его блоком TOW_c. Использование блока записи в контекст предпочтительнее, так как последний предоставляет больше возможностей для редактирования и отображения графической информации посредством использования контекста.

Блоки многомерного осциллографа CMSCOPE и расщепления можно удалить – они не понадобятся.

Блок-схема системы с внесёнными изменениями показана на рис. 98.

Рисунок 98. Внедрение блока TOW_c блок-схему системы

Напомним, что на вход блока TOW_c подаётся вектор, который в переменную y_var, а потом используется в контексте для построения графиков. Чтобы понять, что за объект формируется в переменной y_var, его можно вывести в консоль с помощью стандартной функции Scilab disp().

Добавьте в контекст строку очистки консоли и вывода переменной:

clc;
disp(y_var);

Строки очистки консоли и вывода переменной

Запустите моделирование и перейдите в консоль. В командном окне Scilab Вы обнаружите следующее:

Рисунок 99. Отображение объекта y_var в консоли

Итак, рисунок 99 гласит о том, что объект y_var содержит два атрибута: вектор , в котором 2 столбца и 220 строк и вектор – временные отсчёты, представляющие собой вектор-столбец с 220 значениями.

Если подробнее, то вектор y_var – это точки в которых вычисляются значения системы, их 220 потому, что моделирование происходит на протяжении 22сек. со значением . Вектор y_var в первом столбце содержит значения первой фазовой переменной , поданной на выход системы, т.е. значения координаты , вычисленные в каждой из 220 моментов времени; а во втором столбце – значения второй фазовой переменной , которая соответствует производной , то есть скорости груза, вычисленные в тех же 220 точках.

Для построения покоординатных графиков и фазового портрета нам предстоит обращаться к значениям y_var содержащимся в первом и втором столбцах по-отдельности.

Например, для того, чтобы получить все значения первого столбца, соответствующие переменной состояния , необходимо записать: y_var.values(:, 1), соответственно, чтобы получить значения вектора скорости, нужно использовать запись y_var.values(:, 2).

С помощью скрипта, записанного в контексте, можно получить одно графическое окно с 4-мя системами координат, как на рис. 100

Рисунок 100. Вывод графической информации при помощи контекста в результате моделирования системы

Контекст, реализующий задание матриц системы, представленной в пространстве состояний и строящий графики следующий:

clc;
clc;
m = 2; c = 1; k = 2;

A = [0 1; -k/m -c/m];
B = [0; 1/m];
C = eye(2,2);
D = 0;

Z0 = [0 0];

clf();
subplot(221)
plot(y_var.time, y_var.values(:,1), "b", "Linewidth", 2);
xgrid;
xtitle("Координата", "t", "$\Large z_1 = x$");

subplot(222)
plot(y_var.time, y_var.values(:,2), "g", "Linewidth", 2);
xgrid;
xtitle("Скорость", "t", "$\Large z_2=\dot{x}$");

subplot(223)
plot(y_var.values(:,1), y_var.values(:,2), "r", "Linewidth", 2);
xgrid;
xtitle("Фазовый портрет", "$\Large x$", "$\Large \dot{x}$");

subplot(224)
plot(y_var.time, y_var.values(:,1), "b", "Linewidth", 2);
plot(y_var.time, y_var.values(:,2), "g", "Linewidth", 2);
legend("$\Large x$","$\Large \dot{x}$"); xgrid;
xtitle("Координата и Скорость", "t", "$\Large x,\dot{x}$");

Контекст, реализующий задание матриц системы