Сведение к системе дифференциального уравнения 2-ой степени в Xcos

Способ 2: сведение к системе в форме Коши

Рассмотрим более привычный и распространённый способ численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка: сведение к системе из n уравнений 1-го порядка, или, как ещё говорят, к нормальной форме или форме Коши.

Решение систем ОДУ без использования визульных блоков, было рассмотрено ранее в материале.

Рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка с заданными начальными условиями:

\( y''+2y'-0.3y=0, y(0)=1, y'(0)=0 \) (1)

Введём замену переменных, сводящих уравнение (1) к системе из двух уравнений первой степени:

\begin{cases} z_1 = y \\ z_2=y' \end{cases}

получим систему в новых фазовых переменных

(2)\begin{cases} z_1'=z_2\\ z_2' = -2z_2+0.3z_1\\ \end{cases} (3)\begin{cases} z_1(0)=1\\ z_2(0)=0\\ \end{cases}

Данную систему нам и необходимо замоделировать. Итак, разберём, какие из функциональных бликов Xcos понадобятся, чтобы найти решение задачи Коши системы из двух дифференциальных уравнений 1-ой степени (2) с начальными условиями (3).

Система (2) содержит два д.у. первого порядка, а значит нам понадобятся два блока интегратора. Здесь и в дальнейшем для моделирования дифференциальных уравнений, вместо INTEGRAL_f, будем использовать блок  с палитры «Системы с непрерывным временем». Смысловая нагрузка у блока INTEGRAL_m та же, что и у используемого ранее INTEGRAL_f, - поиск первообразной сигнала, подающегося на его вход. Однако блок INTEGRAL_m во-первых, более нагляден, а во-вторых, имеет большее количество настраиваемых внутренних параметров блока.

Итак, приступим к сбору функциональной блок-схемы, реализующей поиск численного решения системы дифференциальных уравнений (2), удовлетворяющего начальным условиям (3). Для создания блок-схемы нам потребуется:

1. Добавить два блока INTEGRAL_m на рабочую область, дав им названия соответствующих фазовых переменных и задать во внутренних параметрах блоков INTEGRAL_m значения параметра Initial condition (начальные условия), указанные в (7б). Результатом данных действий будет схема, изображенная на рис.38;

   Рисунок 38. Блоки интеграторов с заданными начальными условиями

2. Собирать уравнения системы (2) необходимо, начиная с последнего и двигаясь вверх. Второе уравнение системы (2) имеет вид \(z_2' = -2z_2+0.3z_1 \)и представляет собой сумму двух слагаемых с разными знаками, первое из которых увеличено в 2 раза, а второе в 0.3 раз.
   Поэтому нам потребуется добавить блок сумматора BIGSOM_f, во внутренних параметрах которого указан знаков слагаемых [-1;1] и блоки усилителя GAINBLK_f со значениями 2 и 3 соответственно.
   Далее необходимо составить правую част рассматриваемого уравнения, то есть подать на вход BIGSOM_f, советующие слагаемые, как показано на рис. 39.

   Рисунок 39. Блок-схема правой части второго диф.уравнения системы (2)

3. Итак, мы получили в сумматоре выражение, которые необходимо проинтегрировать, то есть подать на вход блока-интегратора INTEGRAL_m , соответствующего фазовой переменной, производная которой стоит в левой части рассматриваемого уравнения. В уравнении \(z_2' = -2z_2+0.3z_1 \) слева стоит \(z_2' \), а значит, выход сумматора нужно подсоединить ко входу интегратора, отвечающего за переменную  \(z_2 \)(см. рис. 40).

   Рисунок 40. Вывод выхода сумматора на вход интегратора

4. Перейдём к построению первого уравнения системы (2), имеющего вид \(z_1'=z_2 \). Фазовая переменная \(z_2 \) формируется как выход соответствующего блока интегратора. Распараллелим выход нижнего  блока  INTEGRAL_m , подав его на вход верхнего блока INTEGRAL_m , который соответствует фазовой переменной \(z_1 \). В результате получим схему, изображенную на рисунке 41.

   Рисунок 41. Блок-схема замкнутой системы двух д.у. 1-ой степени (2)

5. Далее нам потребуется вывести графики фазовых переменных \(z_1, z_2 \), для этого добавьте блоки CMSCOPE, END и CLOCK_c на рабочую область.

6. По традиции, во внутренних параметрах блока END указать время 10сек., на функциональный вход блока CMSCOPE нужно подать выход блока CLOCK_c с параметрами Period = 0.1, Время инициализации=0, а на регулярные входы осциллографа подать распараллеленные интегральные выходы, соответствующие фазовым переменным (рис. 42).

   Рисунок 42. Блок-схема поиска численного задачи Коши (2-3) с выводом графиков фазовых переменных

7. После запуска моделирования и настройки параметров осциллографа, получим графики (рис. 43).

   Рисунок 43. Графическое решение задачи Коши (2-3)

Итак, основными принципами второго способа численного интегрирования дифференциальных уравнений порядка выше 1 являются:

• Сведение дифференциального уравнения n-ой к системе из n уравнений 1-ой степени, путём замены переменных;

• Движение снизу вверх при визуализации уравнений получившейся системы;

• Параллельное включение в схему блоков INTEGRAL_m, отвечающих за фазовые переменные системы;

• Отображение результата численного моделирования на системах координат фазовая переменная – время;

• Задание начальных условий в соответствующих блоках-интеграторах;

• Задание отрезка интегрирования во внутренних параметрах блока END, начальной точки и шага дискретизации в блоке CLOCK_c;

• Возможность выбора численного метода поиска решения дифференциального уравнения в настройкам параметров интегрирования.