Марковский процесс функционирования информационной системы с угрозами

Марковский случайный процесс с дискретным состоянием и дискретным временем

Предположим, что автоматизированная информационная системы может находиться в следующих n состояниях . При этом переход системы из i-го состояния в j-е характеризуется вероятностью , где i, j = 1, 2, . . . , n.

Поскольку система может пребывать в одном из состояний, то для каждого момента времени t необходимо задать вероятностей перехода , которые удобно представить в виде следующей матрицы:

Матрица (1) называется матрицей перехода системы.

В матрице перехода располагаются:
- вероятность перехода системы за один шаг из состояния в состояние ;
- вероятность задержки системы в состоянии .

Таким образом, в обозначении первый индекс указывает номер предшествующего состояния, а второй номер последующего.

Переходной вероятностью называют условную вероятность того, что из состояния , в котором система оказалась в результате некоторого испытания, безразлично какого номера, в итоге следующего испытания система перейдет в состояние .

Так как в каждой строке матрицы перехода помещены вероятности событий перехода из одного и того же состояния в любое возможное, то сумма вероятностей этих событий равна 1. Т.е. сумма значений в каждой строке матрицы должна быть равна 1:

Марковский случайный процесс с дискретными состояниями и дискретным временем называют марковской цепью.
Для такого процесса моменты , когда система может менять свое состояние, рассматривают как последовательные шаги процесса, а в качестве аргумента, от которого зависит процесс, выступает не время , а номер шага .

Случайный процесс в этом случае характеризуется последовательностью состояний , где
- начальное состояние системы (перед первым шагом);
- состояние системы после первого шага;
- состояние системы после k-го шага.

Вероятностями перехода системы за шагов из состояния в называются вероятности того, что в результате шагов система перейдет из состояния в состояние .

Например, - вероятность того, что за 8 шагов система перейдет из состояния в .

Заметим, что при вероятности состояний цепи Маркова совпадают с переходными вероятностями .

Кроме того, как и в случае (1) должно выполняться равенство:

Начальным распределением вероятностей Марковской цепи называется распределение вероятностей состояний в начале процесса:

Если для однородной Марковской цепи заданы начальное распределение вероятностей (3) и матрица P переходных вероятностей (1), то вероятности состояний системы определяются по рекуррентной формуле:

Итак, у нас имеются:

Вектор начального распределения (3). Это вероятности стартовать из каждого из состояний.
Переходные вероятности . Это вероятности перейти из состояния в за 1 шаг. Из составлена матрица перехода (1).
Вероятности состояний системы . Это вероятности оказаться в состояния через шагов.
Чудесная формула (4), по которой, зная начальное положение системы, можно рассчитать вероятность оказаться в том или ином состоянии через определённое число шагов.

Моделирование АИС с двумя зависимыми внутренними угрозами с помощью цепи Маркова

Пусть дана информационная система с двумя зависимыми внутренними угрозами, орграф которой изображен на рис. 1.

В качестве двух зависимых внутренних угроз могут быть следующие.

Неквалифицированная политика по управлению информационной безопасностью организации;
Отсутствие должной квалификации персонала по обеспечению деятельности и управлению информационной безопасностью.

Рисунок 1. Граф переходов (состояний) АИС с двумя зависимыми внутренними угрозами.

Данная система моделируется Марковской цепью. Она содержит невозвратные состояния, называемые поглощающими. Из поглощающего состояния нельзя перейти ни в какое другое. На графе поглощающему состоянию соответствует вершина, из которой не выходит ни одна дуга. Поглощающему состоянию соответствует вероятность, равная 1.

Пусть наша система может находиться в одном из четырех состояний:

- состояние, в котором внутренние угрозы ИБ не проявились,
- состояние, в котором первая внутренняя угроза ИБ проявилась с вероятность ,
- состояние, в котором вторая внутренняя угроза ИБ проявилась с вероятность ,
- поглощающее состояние, в котором внутренние угрозы ИБ реализовались с вероятностями и соответственно.

Для данной системы у нас заданы:

Вектор начального распределения:

То есть, при запуске, мы стартуем всегда из 1-го состояния.

Матрица перехода:

А выяснить мы хотим вероятности состояний информационной системы через три шага, воспользовавшись формулой (4).

Приступим к реализации на scilab пошагового моделирования марковского процесса.

Зададим вектор начального распределения Po и матрицу вероятностей перехода P.

clc; clf;

Po = [1; 0; 0; 0];
P = [0.2 0.3 0.5 0; 0.4 0 0.3 0.3; 0.1 0.4 0 0.5; 0 0 0 1];
disp(P, "Матрица распределения вероятностей");

Задание начального вектора и матрицы состояний.

А далее итерационно воспользуемся формулой (4), бережно сохранив промежуточные результаты в Y.

// число шагов
n = 3;

// создадим пустой массив
Y = [];
// в первый столбец запишем имеющиеся значения начального распределения вероятностей Po
Y(:,1) = Po; 
// двоеточие на первом месте означает, что будем брать все строки из первого столбца
  
  
for k = 2:n
    // новый k-й столбец Y формируется как результат
    // умножения транпонированной матрицы Р (см формулу 4 -> pji)
    // на k-1 столбец матрицы У (т.е. вероятности состояния в k-1 момент времени) 
    Y(:,k) = P' * Y(:,k-1) 
end

disp(Y, "Последовательность векторов оказаться в состояниях S1, S2 на 1,. . .," + string(n) + " шаге")

Реализация подсчета вероятности оказаться в каждом из состояний на 3-м шаге.

В консоли можно наблюдать за изменением вероятностей оказаться в каждом из 4-х состояний на 1,2 и 3-м шагах:

Рисунок 2. Изменение вероятностей состояния на каждом шаге.

Если же число шагов увеличить до 10, то можно наблюдать, как система все вероятнее перейдёт в поглошающее 4-е состояние.

Рисунок 3. С ростом числа испытаний, вероятность оказаться в S4 возрастает.

Отдельно стоит отметить, что сумма элементов вектора = 1.

Для пущей наглядности сходимости вероятностей, построим графики зависимости вероятностей Pj от числа шагов.

t = 1:n;
s = 1:3;

subplot(121); 
plot(t, Y(1,:),'-ro', t,Y(2,:),'-go', t,Y(3,:),'-bo', t,Y(4,:),'-co'); xgrid; 
xtitle("Вероятности состояний на каждом шаге", "шаг", "Вероятности");
legend("P1", "P2", "P3", "P4");


subplot(122);
bar3d(Y, alpha=75,theta=-25);
xtitle("Вероятности состояний на каждом шаге", "шаг", "состояния", "вероятность");

Построение графиков в 2d и 3d вариантах.

Рисунок 3. Распределение вероятностей состояний в зависимости от шага.

Серия экспериментов для цепи Маркова, граф которой изображён на рис.1

Посмотрим, действительно ли состояние 4 будет являться поглощающим в различных условиях. Для этого сгенерируем 9 случайных векторов состояний и, стартуя каждый раз из 1-го состояния, промоделируем поведение Марковской цепи с заданной матрицей перехода на протяжении 10-ти шагов.

clc; clf;

// Матрица перехода
probabilityMatrix = [0.2 0.3 0.5 0; 0.4 0 0.3 0.3; 0.1 0.4 0 0.5; 0 0 0 1];
probabilityMatrixDim = size(probabilityMatrix); 
probabilityMatrixCols = probabilityMatrixDim(2);

// Состояния. Индекс строки S(j) - это эквивалент состояния Sj
statesVector = 1:probabilityMatrixDim(1);


markovChainSteps = 10; 
// Моменты времени, в которые осуществляется переход из одного состояния в другое
t = 1:markovChainSteps;

// число строк в разбиении графического окна
winRows = 3; 
// число столбцов в разбиении графического окна
winCols = 3; 
//число экспериментов
winAxes = winRows*winCols;

Реализация подсчета вероятности оказаться в каждом из состояний на 3-м шаге.

Ниже моделирование цепи повторяется 9 раз.

for n = 1:winAxes
    // генерируем случайный вектор состояний, которые выпали в n-e моменты
    trainVector = ceil( 100 * rand(1, markovChainSteps, "uniform"))/100;  
    
    // Пусть стартовать будем всегда из 1-го состояния
    Si = statesVector(1);    
    // Пока пустой массив, в который будем записывать вычисленные состояния
    markovChain =[];
    // Переменная для поиска состояния, в которое будем переходить
    pmRowMax = 0;
    
    for k = 1:markovChainSteps       
        // Запишем в цепь текущее состояние Si 
        chainMarkov(k) = Si;
        // Номер строки матрицы перехода, в которой будем искать состояние, куда переходить
        i = Si;
        
        // Предположим, что состояние поглощающее
        Sj = Si;                 
        
        // Если  выпала вероятность больше, чем текущая pii 
        if ( trainVector(k) > probabilityMatrix(i,i) ) then 
        // Пробежим всю i-ю строку матрицы 
        // т.е. будем менять столбцы j
        // в поисках состояния, в которое можно перейти  
        
            pmRowMax = 0;            
            for j = 1:probabilityMatrixCols  
               // Если вероятность состояния
               // оказалась больше элемента матрицы pij
               // и данный элемент матрицы - самый большой из найденных
               // и данный элемент матрицы позволяет перейти в другое состояние, т.е. не равен pii       
               if  ( trainVector(k) > probabilityMatrix(i,j) ) && 
  					( probabilityMatrix(i,j) > pmRowMax ) && 
  					 ( probabilityMatrix(i,j) ~= probabilityMatrix(i,i) )  then
                   // обновляем максимальный элемент из найденных
                   pmRowMax = probabilityMatrix(i,j);
                   
                   // считаем, что будем переходить в Sj состояние. 
                   // т.к. pij говорит, что переходим из Si в Sj
                   // нам понадобится j - это  столбца = номеру состояния, в которое переходим     
                   Sj = j;
               end                        
            end      
            
        end     
        
        // после пробега всей строки
        // обновляем текущее состояние    
        Si = Sj;    
    end
    
    // рисование
    subplot(winRows,winCols, n)
    plot(t', chainMarkov);
    ttl = "Цепь Маркова " + string(n);
    xtitle(ttl, "t", "S");
    xgrid;
    
    // добавим надписи Si на координатную сетку и увеличим их шрифт до 3
    // добавление $ ... $ внутри " ... "  позволяет вводить текст в формате LaTex
    // S_1 -это S с нижним индексом 1
    for i = 1:probabilityMatrixCols
        str = "$S_" + string(i) + "$";
        xstring(-1, i, [str]); gce().font_size = 3; 
    end 

    str = string(trainVector);
    xstring(-1, 0, ['V=(',str, ')']); 
    gce().font_size = 2; 
    gce().font_color = 2; 
        
    axe = gca();
    axe.font_size = 3; //размер циферок на осях
    axe.data_bounds=[-1, 0; markovChainSteps + 1, probabilityMatrixCols + .5];   // видимая область координатной сетки [Xmin, Ymin; Xmax, Ymsx] 
    
    mchain = axe.children.children(1); // выберем последний график на координатной сетке
    mchain.polyline_style = 2; // соединение точек - лесенкой
    mchain.foreground = 2; // цвет соединительных линий - синий
    mchain.thickness = 2; // толщина соединительных линий
    mchain.mark_mode = 'on'; // добавим кружочки в местах соединения линий
    mchain.mark_style = 9;  // тип кружка - не закрашенный
    mchain.mark_size = 6; // размер кружка     


end