Модель 3-х популяций в среде Xcos

Математическая модель SIR взаимодействия трёх популяций, её реализация в среде Xcos

Рассмотрим простейшую модель распространения болезни в обществе. Обозначим через - долю особей, потенциально подверженных заболеванию, - долю уже заболевших (и потенциально заразных) особей, а через - число выздоровевших и, следовательно, приобрётших иммунитет к болезни. В данных обозначениях математическая модель течения болезни в трёх взаимодействующих популяциях представима в виде:

Создание блок-схемы, описывающей взаимодействие трёх популяций, как и в предыдущем случае, начнём с задания положительных коэффициентов через контекст. Кроме того, зададим начальные значения , обозначающие долю особей, восприимчивых и не восприимчивых к болезни соответственно.

Далее добавим на рабочую область три блока интегратора INTEGRAL_m с настроенными внутренними параметрами, один блок сумматора BIGSOM_f и два блока усилителя GAINBLK с параметрами .

В итоге получим заготовку, изображённую на рис. 51.

Рисунок 51. Исходные блоки для создания блок-схемы системы (1)

Далее замоделируем правую часть уравнения как произведение двух фазовых переменных, усиленное на величину .

В результате получим схему, изображенную на рис. 52

Рисунок 52. Блок-схема первого уравнения системы (1)

Соединительные линии для второго и третьего уравнений проводятся по известным уже принципам умножения фазовых переменных с помощью блока PRODUCT и их последующего усиления через блок GAINBLK.

Интересным в рассматриваемом примере является второе уравнение рассматриваемой системы (1). Дело в том, что оба слагаемых, стоящих в правой части данного уравнения, входят в состав первого и третьего уравнений с теми же коэффициентами усиления, но противоположными знаками. Поэтому добавлять дополнительные блоки усилителей не нужно, достаточно распараллелить соответствующие соединительные линии блоков и отредактировать знаки слагаемых блока BIGSOM_f, как показано на рис. 53.

Рисунок 53. Блок-схема диф.уравнений системы (1)

Для вывода графического решения рассматриваемой системы трёх взаимодействующих популяций, воспользуемся приёмом, рассмотренным в предыдущей статье. Добавим блоки TOWS_c, CLOCK_c, END, проведя соединительные линии и настроив их внутренние параметры для моделирования на протяжении 20сек., как показано на рис. 54.

Рисунок 54. Xcos модель распространения болезни в обществе.

Далее необходимо установить контекст, как показано на рис. 55.

Рисунок 55. Задание внутренних параметров и контекста SIR-модели

Результаты моделирования представлены на рис. 56. Моделирование проводилось для с шагом дискретизации 0.1.

Рисунок 56. Графическое представление течения болезни, описываемого системой (1), в обществе.

На основе результатов моделирования, можно сделать вывод, что доля переболевших и приобретших иммунитет особей, растёт со временем, в то время, как число потенциально подверженных заболеванию падает. Процент заражённых особей сначала возрастает, достигая своего максимума в точке, называемой «пиком эпидемии», а далее снижается, стремясь к нулю.