Перейдём, наконец к визуальному моделированию динамических систем в Xcos. Не секрет, что различные механические, физические, экономические и многие другие системы реальной жизни описываются в виде математических моделей на основе дифференциальных уравнений.
Рассмотрим порядок решения задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка с заданным начальным условием:
Аналитическое решения данного уравнения имеет вид:
Перейдём к построению блок-схемы в редакторе Xcos. Наша блок-схема будет состоять из двух частей: части, моделирующей найденное аналитическое решение задачи Коши (2) и части, отвечающей за численное интегрирование исходного дифференциального уравнения с заданными начальными условиями (1). Мы ни в коем случае не желаем запутать читателя или усложнить схему. Целью построения блок-схемы из двух является демонстрация идентичности решений – аналитического и численного.
Для моделирования блока аналитического решения нам понадобится единственный новый блок с палитры «Источники сигналов и воздействий», необходимый непосредственно для генерации сигнала.
Данный блок имеет только один регулярный выход и не имеет внутренних параметров; он необходим для подачи временных отсчетов, синхронизированных в соответствии с параметрами блоков CLOCK_c и END.
Итак, исходя из того, что моделируемое уравнение (2) имеем три слагаемых, нам понадобится блок BIGSOM_f, два входа которого будут положительными, а один, соответствующий константе «-2» - отрицательным. Сложносочинённым в моделируемом уравнении представляется второе слагаемое
Рисунок 30. Блок схема аналитического решения (2).
Теперь перейдём к реализации блок-схемы дифференциального уравнения первой степени в среде визуального моделирования Xcos.
Первое, что необходимо сделать – это привести дифференциальное уравнение к интегрируемому виду, где слева от знака «равно» стоит производная, а справа – остальные слагаемые. В рассматриваемом примере, уравнение (1) преобразуется к виду:
Далее, нам необходимо собрать из блоков Xcos правую часть уравнения (3), состоящую из двух слагаемых, а результат направить на блок интегрирования, который располагается на палитре «Системы с непрерывным временем».
У блока INTEGRAL_f всего один внутренний параметр Initial state, в котором указывается значение в начальный момент времени. В нашем случае начальные условия заданы в (1) и имеют вид
Итоговая блок-схема, выводящая аналитическое и численное решения на одну систему координат, представлена на рисунке 31.
Рисунок 31. Блок-схема вывода численного и аналитического решений з. Коши дифференциального уравнения
Моделирование проводилось на временном отрезке [0;5] с шагом дискретизации 0.1. Результат моделирования представлен на рис. 32.
Рисунок 32. Совпадающие численное (голубой график) и аналитическое (точечный график) решения.
Итак, нами рассмотрен подход к решению задачи Коши для ОДУ 1-ой степени.
Основные принципы данного подхода следующие:
- Приведение дифференциального уравнения к виду, когда слева от знака «равно» находится только производная;
- Использование блока TIME_f для подачи сигнала на вход функциональных блоков;
- Использование блока INTEGRAL_f для поиска численного решения дифференциального уравнения;
- Задание отрезка интегрирования во внутренних параметрах блока END, начальной точки и шага дискретизации в блоке CLOCK_c;
- Возможность выбора численного метода поиска решения дифференциального уравнения в настройкам параметров интегрирования.
